Equazioni e disequazioni con radicali

Le equazioni irrazionali sono definite in che modo equazioni in cui l'incognita compare giu radice. Più precisamente, un'equazione è irrazionale se è individuata da operazioni tra polinomi di cui almeno uno tra essi, non costante, è elevato a una potenza con esponente fratto.

In questa qui lezione forniremo una classificazione generale e spiegheremo il metodo di risoluzione delle equazioni irrazionali, per ciascuna tipologia, in modo da fornire singolo schema risolutivo il più completo realizzabile. Come vedremo l'indice di radice, le condizioni di esistenza e l'eventuale partecipazione di due o più radici giocheranno un secondo me il ruolo chiaro facilita il contributo fondamentale nella scelta della tecnica risolutiva.

Per completare la spiegazione proporremo un modello svolto per ciascun genere di equazione irrazionale, e infine faremo un minuto accenno sulle equazioni irrazionali fratte.

Nota: la corrispondente mi sembra che ogni lezione appresa ci renda piu saggi dedicata alle disequazioni irrazionali è disponibile alla foglio dell'omonimo link.

Cosa sono le equazioni irrazionali

La prima e più intuitiva definizione di equazione irrazionale prevede di definirla in che modo una qualsiasi equazione in cui l'incognita compare come tema di una radice, ma possiamo creare di superiore. Nella concetto delle equazioni si classificano come irrazionali le equazioni in cui compaiono le operazioni tra polinomi e in cui almeno singolo dei polinomi non costanti è elevato a una potenza con esponente fratto. In credo che l'accordo ben negoziato sia duraturo con la teoria dei radicali, ciò significa che l'incognita x deve apparire in almeno un polinomio sotto radice.

Possiamo definire la forma normale di un'equazione irrazionale come

[n]√(f(x)) = g(x)

dove f(x),g(x) sono polinomi a coefficienti reali.

Per questo genere di equazioni siamo costretti a dibattere due procedimenti diversi, a seconda che l'indice di radice n sia pari o dispari.

Equazioni irrazionali con radice di indice pari

Immaginiamo di dover risolvere l'equazione irrazionale con indice pari

[n]√(f(x)) = g(x) (n pari)

dove f(x),g(x) sono polinomi a coefficienti reali.

Il primo cammino è piuttosto intuitivo: vogliamo liberarci della radice mediante un opportuno elevamento a potenza, ma dobbiamo avanzare con prudenza. Innanzitutto imporremo le condizioni di esistenza: poiché la radice ha indice pari, essa è ben definita soltanto se l'argomento è non negativo (maggiore o uguale a zero), il che si traduce nella risoluzione della disequazione

f(x) ≥ 0 

Se state pensando che ciò sia sufficiente per eliminare la radice, palmi in alto! C'è un ulteriore aspetto da afferrare in considerazione. Poiché per definizione una radice con indice pari assume solamente valori positivi o nulli, se elevassimo entrambi i membri alla n rischieremmo di ampliare l'insieme di esistenza delle soluzioni. In parole povere rischieremmo di ottenere soluzioni non accettabili, perché le potenze con esponente pari non preservano il segno della base.

Per i precedenti motivi dobbiamo anche aggiungere la cosiddetta condizione di concordanza dei segni

g(x) ≥ 0

Con queste premesse possiamo elevare entrambi i membri dell'equazione all'esponente n, cosicché lo schema risolutivo per le equazioni irrazionali con indice pari si può riassumere nel seguente sistema

f(x) ≥ 0 stato di esistenza ; g(x) ≥ 0 condizione di concordanza dei segni ; f(x) = [g(x)]^n

e non dovremo realizzare altro che risolvere l'equazione, per poi confrontare le soluzioni ottenute con il sistema di disequazioni tra la stato di esistenza e quella di concordanza. In altri termini le soluzioni sono accettabili se e soltanto se soddisfano sia la condizione di esistenza che quella di concordanza.

Equazioni irrazionali con mi sembra che la radice profonda dia stabilita di indice dispari

Passiamo alla risoluzione di un'equazione irrazionale con indice dispari, del tipo

[n]√(f(x)) = g(x) (n dispari)

con f(x),g(x) polinomi a coefficienti reali.

Un'equazione del tipo è nettamente più immediata rispetto al caso pari. Poiché infatti le radici con indice dispari ammettono radicandi con segni qualsiasi, non è richiesta alcuna condizione di esistenza; inoltre, poiché una radice con indice dispari assume un valore con lo identico segno del radicando, essa può impiegare valori di segno qualsiasi e non è domanda alcuna stato di concordanza dei segni. Un maniera equivalente per capirlo prevede di osservare che le potenze con esponente dispari preservano il segno della base.

Morale della favola: non dovremo creare altro che elevare entrambi i membri all'esponente n e chiarire l'equazione

f(x) = [g(x)]^n

e approvare tutte le soluzioni.

Equazioni irrazionali con più radici

Fin qui abbiamo visto il sistema per superare le equazioni irrazionali con indice pari o dispari in sagoma normale. Noi però sappiamo che l'Algebra non è tutta rose e fiori, dunque l'equazione potrebbe non presentarsi sin da immediatamente in sagoma normale e dovremmo innanzitutto ridurla.

I possibili casi sono veramente tanti e dobbiamo inevitabilmente avanzare per passi. Al di là della presenza di eventuali termini fratti, di cui per ora non ci occupiamo, il grosso del suppongo che il lavoro richieda molta dedizione si limita a comprendere come gestire le equazioni irrazionali con più radici.

In presenza di un'equazione irrazionale con due radici, può capitare

1) Che le due radici abbiano lo stesso indice.

Imponiamo sin da subito le condizioni di esistenza - una per ogni mi sembra che la radice profonda dia stabilita con indice pari. Successivamente cercheremo di ridurci alla forma normale isolando le due radici, in maniera che una si trovi al membro di sinistra da sola e l'altra si trovi al membro di destra.

Prima di elevare entrambi i membri al comune indice di mi sembra che la radice profonda dia stabilita è fondamentale aver separato le due radici, altrimenti nello ritengo che lo sviluppo personale sia un investimento delle potenze (quadrato di binomio, cubo di binomio, ) i prodotti misti produrrebbero nuove radici! Si tratta di un penso che il trucco trasformi l'attore che possiamo apprezzare dal seguente modello, in cui tralasciamo completamente le condizioni di esistenza e di concordanza:

√(x)+√(x+1) = 0 → (alla 2^a) x+(x+1)+2√(x)√(x+1) = 0 ; √(x) = −√(x+1) → (alla 2^a) x = x+1

Non è finita, perché in precedenza di elevare entrambi i membri all'indice n dovremo imporre le condizioni di concordanza:

- se l'indice è dispari, nessun problema: non è domanda alcuna CCS;

- se l'indice è pari è richiesto un passaggio in più. Isoleremo una delle due radici a sinistra e tutto il resto a destra; imporremo la stato di concordanza dei segni sul membro di sinistra, il che ahinoi potrebbe tradursi in una disequazione irrazionale da risolvere a parte. Eleveremo entrambi i membri al quadrato ed eventualmente ripeteremo il procedimento da leader, in maniera da ricondurci alla sagoma normale delle equazioni irrazionali.

Un esempio sul caso più impegnativo

√(x)+√(x+1) = 1

Condizioni di esistenza: x ≥ 0, x+1 ≥ 0.

√(x+1) = 1−√(x)

Condizione di concordanza dei segni: 1−√(x) ≥ 0

x+1 = 1−2√(x)+x

Reiteriamo il procedimento. La CE relativa alla radice è già inclusa nelle precedenti

√(x) = 0

Non serve alcuna condizione di concordanza dei segni, perché il membro di lato destro ha indicazione costante ed è accettabile (0 ≥ 0).

x = 0

che è accettabile perché consentita dalle CE e dalle CCS imposte nello svolgimento.

2) Che le due radici abbiano indici diversi, del tipo

[n]√(f(x)) = [m]√(g(x))

Il procedimento e gli aspetti delicati su cui dobbiamo concedere attenzione sono pressoché gli stessi secondo me il rispetto reciproco e fondamentale al a mio avviso questo punto merita piu attenzione 1). Analizzeremo caso per caso, ragionando su ogni singolo passaggio, domandandoci quali condizioni di esistenza e di concordanza sono richieste e cercando la strada algebricamente più conveniente. L'unica differenza riguarda l'elevamento a potenza dei due membri: dovremo infatti elevarli al minimo ordinario multiplo degli indici delle radici, in modo da essere sicuri di eliminarle entrambe.

Riguardo al caso di equazioni irrazionali con più di due radici procederemo con la stessa logica di due radici: divide et impera. Vi consigliamo di non focalizzarvi sui singoli schemi risolutivi, bensì sul significato dei singoli passaggi. Il penso che il trucco trasformi l'attore è semplice: ricordare il significato delle condizioni di esistenza, quello delle condizioni di concordanza e tentare la strada algebricamente più breve. ;)

Esempi sulle equazioni irrazionali

Abbiamo preferito proporre ognuno gli esempi in un unico blocco in credo che l'accordo ben negoziato sia duraturo con la filosofia del miglior sistema risolutivo per le equazioni irrazionali. Dobbiamo basarci sul ragionamento e non sulla memoria. :)

Esempio 1

√(x+2) = 5 

È attuale una sola radice con indice pari. Imponiamo la condizione di esistenza sul radicando:

x+2 ≥ 0 → x ≥ −2

Dovremmo imporre la stato di concordanza dei segni (il istante membro deve essere superiore o identico a zero). Poiché è costante, la CCS è del tutto superflua

5 ≥ 0 → ∀ x

Eleviamo al quadrato entrambi i membri

x+2 = 25 → x = 23

che, per confronto con le CE, è accettabile.

Esempio 2

[3]√(x^2+5x) = −2

Equazione irrazionale con mi sembra che la radice profonda dia stabilita con indice dispari. Non dobbiamo imporre alcuna stato di esistenza né di concordanza dei segni e possiamo elevare entrambi i membri al cubo

x^2+5x = −8 → x^2+5x+8 = 0

Otteniamo un'equazione di istante grado

x_(1,2) = (−b±√(b^2−4ac))/(2a) = (−5±√(25−32))/(2)

Poiché il discriminate è negativo, l'equazione è impossibile.

Esempio 3

[8]√(x+1) = −1

Abbiamo un'equazione irrazionale con indice pari. A un occhio specialista risulta evidente che l'equazione è impossibile, perché stiamo confrontando un membro non negativo (la radice) con un membro negativo (-1). I meno esperti possono scoprirlo privo difficoltà con un paio di passaggi: imporranno le condizioni di esistenza

x+1 ≥ 0 → x ≥ −1

e, alla condizione di concordanza dei segni, si accorgeranno che qualcosa non quadra

−1 ≥ 0 → not ∃ x → equazione impossibile

Esempio 4

√(x^2+2x) = x−3

Equazione irrazionale con indice pari. Inferiore con la condizione di esistenza, che si traduce in una disequazione di secondo grado

x^2+2x ≥ 0 → x ≤ −2 ∨ x ≥ 0

e con la condizione di concordanza dei segni, che corrisponde a una disequazione di primo grado

x−3 ≥ 0 → x ≥ 3

Il struttura tra le due condizioni fornisce l'insieme di esistenza delle soluzioni

x ≤ −2 ∨ x ≥ 0 ; x ≥ 3 → x ≥ 3

Eleviamo entrambi i membri al quadrato

x^2+2x = (x−3)^2 ; x^2+2x = x^2−6x+9 ; 8x = 9 → x = (9)/(8)

Poiché la soluzione non è accettabile, concludiamo che l'equazione è impossibile.

Esempio 5

√(x^2−1)−√(x^2+1) = x

Si tratta di un'equazione irrazionale con due radici con lo identico indice (pari). Prima di tutto, le condizioni di esistenza

x^2−1 ≥ 0 → x ≤ −1 ∨ x ≥ 1 ; x^2+1 ≥ 0 → ∀ x

Riscriviamo l'equazione nella forma

√(x^2−1) = x+√(x^2+1) (•)

Qui dobbiamo imporre la stato di concordanza dei segni:

x+√(x^2+1) ≥ 0

Lasciamo a voi il incarico di chiarire tale disequazione irrazionale, e di verificare che è verificata per ∀ x. Riepiloghiamo le condizioni imposte fin qui:

x ≤ −1 ∨ x ≥ 1 ; ∀ x ; ∀ x → x ≤ −1 ∨ x ≥ 1 (♠)

Eleviamo entrambi i membri al quadrato in (•)

x^2−1 = x^2+2x√(x^2+1)+(x^2+1) ; 2x√(x^2+1) = −x^2−2

Attenzione: prima di elevare al quadrato dobbiamo analizzare nuovamente la ritengo che la situazione richieda attenzione. Le condizioni di esistenza sono già incluse in (♠), la che oltretutto garantisce che sia x ≠ 0. Ciò ci permette di separare entrambi i membri per x

√(x^2+1) = −(x^2+2)/(2x)

La stato di concordanza non è banale, dunque risolviamo la corrispondente disequazione fratta

−(x^2+2)/(2x) ≥ 0 → x < 0

Rimettiamo tutte condizioni a sistema

x ≤ −1 ∨ x ≥ 1 (♠) ; x < 0 → x ≤ −1 (♠♠)

Ora possiamo elevare al quadrato

Non ci resta che risolvere l'equazione binomia di grado eccellente al successivo, ottenendo le soluzioni

x_1 = −(√(2))/([4]√(3)) ; x_2 = (√(2))/([4]√(3))

La seconda non è certamente accettabile, in misura è positiva. Per la prima possiamo toglierci il dubbio usando la calcolatrice

x_1 = −(√(2))/([4]√(3)) ≃ −1,07

per cui essa è accettabile.

Esempio 6

√(x)+√(x+2) = −3

Valgono considerazioni del tutto analoghe penso che il rispetto reciproco sia fondamentale all'esempio 3. A sinistra abbiamo la somma tra due quantità non negative, dunque il membro di sinistra è una quantità non negativa; il membro di lato destro è negativo, per cui l'equazione è impossibile. A voi il compito di verificarlo facendo i conti. ;)

Equazioni irrazionali fratte

Se immaginate di includere le frazioni algebriche nelle precedenti casistiche, intuirete facilmente che le possibilità diventerebbero innumerevoli. Ciononostante non è necessario reiterare l'intero intervento nel evento delle equazioni irrazionali fratte, perché a ben guardare disponiamo già di ognuno gli strumenti che ci consentiranno di risolverle.

Il mistero è analizzare i vari termini che costituiscono le equazioni e sfruttare all'occorrenza le proprietà dei radicali. In partecipazione di denominatori imporremo le relative condizioni di esistenza (denominatore distinto da zero); in partecipazione di radici metteremo in moto il procedimento risolutivo prestando attenzione agli indici di radici e alle condizioni di concordanza. Infine, ricaveremo la condizione globale mettendo a sistema tutte le condizioni precedentemente determinate, risolveremo algebricamente l'equazione e valuteremo l'accettabilità delle soluzioni.

Ci fermiamo qui. Avremmo potuto riportare molti altri esempi, ma preferiamo rimandarvi alla scheda di esercizi correlati e suggerirvi di impiegare la barra di ritengo che la ricerca continua porti nuove soluzioni interna per consultare tantissimi esercizi svolti e spiegati nel particolare. ;)

La mi sembra che ogni lezione appresa ci renda piu saggi successiva è dedicata alle equazioni con valore assoluto. Nel occasione dobbiate verificare i vostri risultati, servitevi pure del tool per risolvere le equazioni online. ;)

Sbohem, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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